Três corredores terminando em primeiro, segundo e terceiro é uma pergunta diferente de três corredores chegando à final. As duas partem do mesmo grupo e escolhem a mesma quantidade, mas uma conta ordenações e a outra conta grupos - e a primeira resposta é sempre maior, exatamente pelo número de formas de embaralhar os escolhidos entre si. Esta página mostra as duas de uma vez, para que a escolha fique visível em vez de suposta.

Em três passos

1. 1 Digite n: quantas coisas existem para escolher.
2. 2 Digite r: quantas delas você está levando.
3. 3 Leia a linha que corresponde à sua pergunta: a ordem importa, ou não.

A única pergunta que decide a fórmula

Pergunte se trocar dois dos itens escolhidos produz um resultado diferente. Ouro e prata trocados é outro resultado, então lugares no pódio são permutações. Dois números de loteria trocados são o mesmo bilhete, então sorteios são combinações. Todo o resto segue desse único teste, e errar nele é o engano mais comum deste canto da matemática - geralmente contando cada grupo várias vezes.

Por que esses números ficam enormes tão rápido

Permutações crescem mais rápido que quase tudo na aritmética comum. Dez objetos têm 3.628.800 ordenações; quinze têm mais de um trilhão. Esse crescimento explica por que um cadeado de quatro discos parece seguro e por que embaralhar um baralho produz com confiança um arranjo que ninguém jamais viu. Também explica por que respostas exatas deixam de ser possíveis numa tela bem cedo, e a ferramenta diz isso em vez de imprimir dígitos pelos quais não responde.